\chapter{Hamilton 1994}
	\section{差分方程}
\subsection{一阶差分方程}
递归法解一阶差分方程，
\[ y_t=\phi y_{t-1}+w_t \]

其中$ w_t $是其他变量。实际上，若知道初值，则通过迭代，可以得到整个时间序列。如，
\begin{table}[H]\centering
	\begin{tabular}{ll}\hline
时期& 方程\\\hline
0&$ y_0=\phi y_{-1}+w_0 $\\
1&$ y_1=\phi y_{0}+w_1 $\\
\vdots&\vdots\\
t&$ y_t=\phi y_{t-1}+w_t $\\\hline
	\end{tabular}
\end{table}
实际上，通过不断迭代可以把$ y_t $写成$ y_{-1} $的函数，
\begin{equation}\label{dq1}
 y_t=\phi^{t+1}y_{-1}+\phi^tw_0+\phi^{t-1}w_1+\cdots+\phi w_{t-1}+w_t 
\end{equation}

从中可以看到$ y $对$ w $的动态响应依次为$ (1,\phi,\phi^2,\cdots,\phi^t) $，$ y_{t+j} $对$ w_t $的响应为$ \phi^j $，只有$ |\phi|<1 $才能保证系统是稳定的。
\begin{itemize}
	\item 长期效应。即$ w_t $增加一个单位对$ y_{t+1},y_{t+2},\cdots,y_{t+j} $的影响的和。在数学上也可以看做是计算$ w_t,w_{t+1},\cdots,w_{t+j} $均增加一个单位对$ y_{t+j},j\rightarrow \infty $的影响，
	\[ 1+\phi+\phi^2+\cdots+=\frac{1}{1-\phi} \]	
	
\end{itemize}
\subsection{p阶差分方程}
\[ y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\cdots+\phi_py_{t-p}+w_t \]
若令，\[ \bm{\xi}_t=\begin{bmatrix}
y_t\\y_{t-1}\\\vdots\\y_{t-p+1}
\end{bmatrix},\bm{F}=\begin{bmatrix}
\phi_1&\phi_2&\cdots&\phi_{p-1}&\phi_p\\
1&0&\cdots&0&0\\
0&1&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&1&0\\
\end{bmatrix},\bm{v}_t=\begin{bmatrix}
w_t\\0\\\vdots\\0
\end{bmatrix} \]

则$ p $阶差分方程又可以写成一阶的形式，
\[ \bm{\xi}_t=\bm{F\xi}_{t-1}+\bm{v}_t \]

那么对\eqref{dq1}式的一个自然泛化就表现为，
\[ \bm{\xi}_{t+j}=\bm{F}^{j+1}\bm{\xi}_{t-1}+\bm{F}^j\bm{v}_t+\bm{F}^{j-1}v_{t+1}+\cdots+\bm{Fv}_{t+j-1}+\bm{v}_{t+j} \]

那么，$ w_t $对$ y_{t+j} $的影响实际上为$ \bm{F}^j $的第一个元素。如何求得该元素，可以通过特征值和特征向量的方法。
\subsubsection{带有不同特征值的p阶差分方程的一般解}
$ p\times p $的方阵$ \bm{F} $的特征值分解表明，
\[ \bm{F}=\bm{T\Lambda T}^{-1} \]

其中，$ \bm{\Lambda} $是对角线元素为特征值的对角矩阵，$ \bm{T} $是特征向量，
\[ \bm{\Lambda}=\begin{bmatrix}
\lambda_1&0&\cdots&0\\
0&\lambda_2&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&0&\lambda_p\\
\end{bmatrix} \]

那么，\[ \bm{F}^j=\bm{T\Lambda}^j\bm{T}^{-1} \]

其中，
\[ \bm{\Lambda}^j=\begin{bmatrix}
\lambda_1^j&0&\cdots&0\\
0&\lambda_2^j&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&0&\lambda_p^j\\
\end{bmatrix} \]

于是，
\begin{align*}
 \bm{F}^j=&\begin{bmatrix}
t_{11}&t_{12}&\cdots&t_{1p}\\
t_{21}&t_{22}&\cdots&t_{2p}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
t_{p1}&t_{p2}&\cdots&t_{pp}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda_1^j&0&\cdots&0\\
0&\lambda_2^j&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&0&\lambda_p^j\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t^{11}&t^{12}&\cdots&t^{1p}\\
t^{21}&t^{22}&\cdots&t^{2p}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
t^{p1}&t^{p2}&\cdots&t^{pp}\\
\end{bmatrix}\\
=&\begin{bmatrix}
t_{11}\lambda_1^j&t_{12}\lambda_2^j&\cdots&t_{1p}\lambda^j_p\\
t_{21}\lambda_1^j&t_{22}\lambda_2^j&\cdots&t_{2p}\lambda_p^j\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
t_{p1}\lambda_1^j&t_{p2}\lambda_2^j&\cdots&t_{pp}\lambda_p^j\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t^{11}&t^{12}&\cdots&t^{1p}\\
t^{21}&t^{22}&\cdots&t^{2p}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
t^{p1}&t^{p2}&\cdots&t^{pp}\\
\end{bmatrix}
\end{align*}

因此，$ \bm{F}^j $的第一个元素为，
\begin{equation}\label{dq2}
 f_{11}^{(j)}=(t_{11}t^{11})\lambda_1^j +(t_{12}t^{21})\lambda_2^j+\cdots+(t_{1p}t^{p1})\lambda_p^j
\end{equation}


实际上，$\bm{TT}^{-1}$作为单位阵，它的第一个元素为1，而且恰好为
\[ (t_{11}t^{11}) +(t_{12}t^{21})+\cdots+(t_{1p}t^{p1})=1 \]

可见$ \bm{F}^j $的第一个元素为特征值的一个加权和，各项权重为$ c_i=(t_{1i}t^{i1}),i=1,2,\cdots,p $。而线性代数的知识告诉我们，
\[ c_i=t_{1i}t^{i1} =\frac{\lambda_i^{p-1}}{\prod_{k=1,k\ne i}^{p}(\lambda_i-\lambda_k)}\]

从\eqref{dq2}式可见，只有当最大的特征值的绝对值小于1（如果存在复数特征值，则模要小于1），系统才是稳定的。
\subsubsection{带有重复特征值的差分方程的一般解}
此时进行約当分解，也可以得到类似于\eqref{dq2}式的形式，只是此时$ c_i $不同而已。
\section{滞后算子表述}
对于一阶差分方程，也可用滞后算子表达为，
\[ y_t=\phi L y_t+w_t\qquad\text{or}\qquad (1-\phi L)y_t=w_t \]
两边同乘$ (1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^tL^t) $，有，
\[ (1-\phi^{t+1}L^{t+1})y_t=(1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^tL^t)w_t \]

也即，
\[ y_t=\phi^{t+1}y_{t-(t+1)}+w_t+\phi w_{t-1}+\phi^2 w_{t-2}+\cdots+\phi^tw_0 \]

一旦$ |\phi|<1 $，则$\phi^{t+1}y_{-1}$会趋于0。
\section{VAR的VMA表示}
对于一个VAR模型，
\[ \bm{y}_t=\bm{c}+\bm{\Phi}_1\bm{y}_{t-1}+\bm{\Phi}_2 \bm{y}_{t-2}+\cdots+\bm{\Phi}_p\bm{y}_{t-p}+\bm{\varepsilon}_t\]
也可以写成，
\[ (\bm{I}_n-\bm{\Phi}_1L-\bm{\Phi}_2L^2-\cdots-\bm{\Phi}_pL^p)\bm{y}_t=\bm{c}+\bm{\varepsilon}_t \]

如果VAR平稳，则可以写成MA$ (\infty) $形式，
\[ \bm{y}_t=\bm{\mu}+\bm{\varepsilon}_{t}+\bm{\Psi}_1\bm{\varepsilon}_{t-1}+\bm{\Psi}_1\bm{\varepsilon}_{t-1}+\cdots\equiv \bm{\mu}+\bm{\Psi}(L)\bm{\varepsilon}_t \]

可见$ \bm{\Phi}(L) $和$ \bm{\Psi}(L) $的关系如下，
\[ \bm{\Psi}(L)=[\bm{\Phi}(L)]^{-1} \]

也即要求，
\[ [\bm{I}_n-\bm{\Phi}_1L-\bm{\Phi}_2L^2-\cdots-\bm{\Phi}_pL^p][\bm{I}_n-\bm{\Psi}_1L-\bm{\Psi}_2L^2-\cdots-\bm{\Psi}_pL^p]=\bm{I}_n\]

通过比对$ L,L^2,L^3 $上的系数，就可以找到规律，
\[\bm{\Psi}_s=\bm{\Phi}_1\bm{\Psi}_{s-1}+\bm{\Phi}_1\bm{\Psi}_{s-1}+\cdots+\bm{\Phi}_p\bm{\Psi}_{s-p}\]
其中，$ \bm{\Psi}_0=\bm{I}_n,\bm{\Psi}_s =0,s<0$。

